Собрал сто известных нетривиальных рассуждений: силлогизмы, софизмы и парадоксы. Показываю ход мысли и условия вывода, помогаю отличать доказательство от убедительной ошибки. Разбор основателя «Школы траблшутеров» и любителя дискуссий Олега Брагинского.
Рис. 1. У доказательства, ошибки и парадокса разные точки проверки
Это авторская подборка, а не общепринятый рейтинг. Здесь двадцать корректных форм и способов вывода, тридцать софизмов и типичных ошибок, пятьдесят парадоксов, задач и мысленных экспериментов. Учебные примеры сформулированы для этой статьи; названия и постановки классических задач сохранены по существу.
Силлогизм в узком смысле связывает две посылки и заключение через три термина. Не всякое рассуждение устроено так: математическая индукция, вероятностная задача и этическая дилемма требуют других инструментов. Софизм обычно предполагает намеренную уловку, однако такую же ошибку можно совершить неосознанно.
Корректность означает, что истинные посылки не могут привести к ложному заключению. Она не подтверждает сами посылки. Парадокс обнаруживает конфликт между правдоподобными допущениями или между расчётом и интуицией; иногда конфликт снимается уточнением модели, иногда остаётся предметом спора.
В первых десяти формах S – предмет заключения, P – его признак, M – связующий термин. «Все» означает включение класса, «ни один» – отсутствие пересечения, «некоторые» – существование хотя бы одного объекта. Общая посылка сама по себе существования объектов не гарантирует. В формулах высказываний → означает «если, то», ¬ – отрицание, ∨ – включающее «или».
Корректные формы и способы вывода
Рис. 2. Вложенные классы ведут к выводу, общий признак оставляет разрыв
1. Barbara
Силлогизм. Все M относятся к P; все S относятся к M; значит, все S относятся к P. Все квадраты – прямоугольники, все прямоугольники – четырёхугольники: все квадраты – четырёхугольники. Цепочка включений сохраняет признак. Вывод корректен и при пустом классе S, но тогда не доказывает существования квадратов. В содержательном споре обе посылки всё равно проверяют отдельно. [1, 2]
2. Celarent
Силлогизм. Ни один M не относится к P; все S относятся к M; значит, ни один S не относится к P. Ни одно чётное целое не является нечётным; все числа, кратные четырём, чётные: ни одно кратное четырём не является нечётным. Исключение переносится на подкласс, если значения терминов не меняются. Деление на чётные и нечётные здесь задано для целых чисел. К нецелым значениям такое разбиение не переносится. [1, 2]
3. Darii
Силлогизм. Все M относятся к P; некоторые S относятся к M; значит, некоторые S относятся к P. Все квадраты – четырёхугольники; некоторые красные фигуры – квадраты: некоторые красные фигуры – четырёхугольники. Слово «некоторые» во второй посылке даёт объект-свидетель, которого нет у одних общих утверждений. [1, 2]
4. Ferio
Силлогизм. Ни один M не относится к P; некоторые S относятся к M; значит, некоторые S не относятся к P. Ни один квадрат не является кругом; некоторые синие фигуры – квадраты: некоторые синие фигуры не являются кругами. Частное заключение касается найденных объектов; заменить «некоторые» на «все» нельзя. [1, 2]
5. Cesare
Силлогизм. Ни один P не относится к M; все S относятся к M; значит, ни один S не относится к P. Ни один круг не является многоугольником; все треугольники – многоугольники: ни один треугольник не является кругом. Общий термин здесь стоит признаком обеих посылок, а отрицательная посылка разделяет классы. [1, 2]
6. Camestres
Силлогизм. Все P относятся к M; ни один S не относится к M; значит, ни один S не относится к P. Все квадраты – многоугольники; ни один круг не является многоугольником: ни один круг не является квадратом. Для такого вывода нужен общий запрет пересечения, а не наблюдение нескольких неподходящих объектов. [1, 2]
7. Festino
Силлогизм. Ни один P не относится к M; некоторые S относятся к M; значит, некоторые S не относятся к P. Ни один квадрат не является кругом; некоторые красные фигуры – круги: некоторые красные фигуры не являются квадратами. Из существования подходящего примера следует частное отрицание, но не отсутствие всех красных квадратов. [1, 2]
8. Baroco
Силлогизм. Все P относятся к M; некоторые S не относятся к M; значит, некоторые S не относятся к P. Все квадраты – четырёхугольники; некоторые синие фигуры не являются четырёхугольниками: некоторые синие фигуры не являются квадратами. Если бы выбранный объект был квадратом, он обязан был бы иметь четыре стороны. [1, 2]
9. Datisi
Силлогизм. Все M относятся к P; некоторые M относятся к S; значит, некоторые S относятся к P. Все квадраты – четырёхугольники; некоторые квадраты красные: некоторые красные фигуры – четырёхугольники. Объект из пересечения M и S одновременно находится внутри P. [1, 2]
10. Ferison
Силлогизм. Ни один M не относится к P; некоторые M относятся к S; значит, некоторые S не относятся к P. Ни один квадрат не является кругом; некоторые квадраты красные: некоторые красные фигуры не являются кругами. Существование обеспечено второй посылкой; вывод не требует утверждать, что красные фигуры исчерпываются квадратами. [1, 2]
11. Modus ponens
Правило вывода. Если p, то q; p истинно; следовательно, q истинно. Если заявка одобрена, система выдаёт доступ; заявка одобрена: доступ выдан. Формально правило безупречно. Практический спор может касаться первой посылки: сбой системы или дополнительное условие означают, что исходное «если» описало процесс неточно.
12. Modus tollens
Правило вывода. Если p, то q; q ложно; следовательно, p ложно. Если число кратно четырём, оно чётное; число нечётное: оно не кратно четырём. Отрицается необходимое следствие. В практическом тесте важно исключить ошибку наблюдения: отсутствие зарегистрированного сигнала ещё не всегда означает отсутствие самого сигнала.
13. Гипотетический силлогизм
Правило вывода. Из p → q и q → r следует p → r. Если договор подписан, возникает обязанность оплаты; если обязанность возникает, её отражают в учёте: подписание ведёт к отражению обязанности. Это условный вывод. Он не сообщает, что договор действительно подписан, и требует одинакового смысла q в обеих связках.
14. Разделительный силлогизм
Правило вывода. Истинно p или q; p ложно; значит, q истинно. Файл лежит в папке А или Б; в А его нет: он в Б. Даже включающего «или» достаточно, если перечень исчерпывающий. Если файл мог быть удалён или оказаться в папке В, ложна первая посылка, а не само правило.
15. Конструктивная дилемма
Правило вывода. Из p → r, q → s и p ∨ q следует r ∨ s. Если выберем ремонт, понадобится мастер; если замену – поставщик; предстоит ремонт или замена: понадобится мастер или поставщик. Дилемма корректна при полном наборе альтернатив. Возможность ничего не делать нельзя молча исключать из реальной задачи.
16. Деструктивная дилемма
Правило вывода. Из p → r, q → s и ¬r ∨ ¬s следует ¬p ∨ ¬q. Два запуска требуют каждый своего разрешения; хотя бы одного разрешения нет: хотя бы один запуск не соответствует условиям. Заключение не определяет, какой именно запуск исключён. Для этого потребуется дополнительная информация.
17. Контрапозиция
Преобразование. В классической логике p → q равносильно ¬q → ¬p. Если фигура – квадрат, у неё четыре стороны; если сторон не четыре, это не квадрат. Обратное q → p из этого не следует: четырёхугольник может быть прямоугольником без равных сторон. Контрапозиция сохраняет направление зависимости через два отрицания.
18. Доказательство от противного
Способ доказательства. Предположим, что простых чисел конечный список. Произведение всех чисел списка плюс единица не делится ни на одно из них, но имеет простой делитель: список неполон. Это версия рассуждения Евклида. Новое число не обязано само быть простым; достаточно простого делителя, отсутствующего в исходном списке. [3]
19. Математическая индукция
Способ доказательства. Утверждение проверяют для первого натурального числа и доказывают переход от произвольного n к n + 1. Так устанавливают 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2: прибавление n + 1 даёт нужную формулу следующего шага. Тысяча отдельных проверок не заменяет переход, а переход без начального случая не запускает доказательство. [4]
Рис. 3. Без перехода от одного к двум индукция не запускается
20. Сорит как цепочка силлогизмов
Составное доказательство. Все A входят в B, все B – в C, все C – в D: все A входят в D. Например, квадраты входят в прямоугольники, те – в параллелограммы, а те – в четырёхугольники. Это корректное многошаговое рассуждение. Его не следует путать с парадоксом кучи, тоже называемым соритом: там спорен сам переход между соседними состояниями. [2]
Софизмы и типичные ошибки
21. Утверждение следствия
Формальная ошибка. Если идёт дождь, асфальт мокрый. Асфальт мокрый, значит, идёт дождь. Вывод не обязателен: асфальт мог полить автомобиль. Схема p → q, q, поэтому p путает достаточное условие с необходимым. Для опровержения достаточно одного возможного случая, в котором обе посылки истинны, а заключение ложно.
22. Отрицание основания
Формальная ошибка. Если число кратно четырём, оно чётное. Число не кратно четырём, значит, оно нечётное. Контрпример – шесть. Из отсутствия достаточного условия нельзя вывести отсутствие результата: у него могут быть другие основания. Корректное отрицание работает в другую сторону, как в modus tollens.
23. Нераспределённый средний термин
Ошибка силлогизма. Все кошки – млекопитающие; все собаки – млекопитающие; следовательно, все собаки – кошки. Два подкласса одного большого класса могут не пересекаться. Средний термин не охвачен целиком ни одной посылкой. Общий признак полезен для классификации, но сам по себе не устанавливает тождества групп. [2]
24. Незаконное расширение большего термина
Ошибка силлогизма. Все кошки – млекопитающие; ни одна собака не является кошкой; значит, ни одна собака не является млекопитающим. Из исключения узкого класса сделали исключение большого. В заключении речь уже обо всём классе млекопитающих, тогда как первая посылка говорила только о его кошачьей части. [2]
Рис. 4. Истинное следствие ещё не возвращает нас к основанию
25. Четыре термина вместо трёх
Подмена значения. Всякий ключ открывает замок; скрипичный ключ – ключ; значит, он открывает замок. Слово повторилось, но значение сменилось: инструмент и музыкальный знак – разные термины. Видимость силлогизма скрывает четыре понятия. Перед проверкой формы полезно заменить каждое значение отдельным словом. [2]
26. Ложное исключение альтернативы
Формальная ошибка. Отчёт полезен или интересен. Он полезен, значит, неинтересен. Так можно заключить лишь при исключающем «или», когда запрещена одновременная истинность вариантов. В обычной включающей дизъюнкции отчёт бывает и полезным, и интересным. Условие исключительности нужно назвать, а не дорисовать после ответа.
27. Круг в доказательстве
Софизм. Метод надёжен, потому что ему можно доверять; доверять ему можно, потому что он надёжен. Переформулировка тезиса не создаёт независимого основания. Круг бывает длиннее двух фраз и прячется в ссылках документов друг на друга. Проверка – найти опору, истинность которой не зависит от доказываемого вывода. Число взаимных ссылок не усиливает доказательство, если независимых оснований не прибавилось. [5]
28. Ошибка композиции
Необоснованный перенос. Каждый узел оборудования лёгкий, значит, вся установка лёгкая. Вес складывается: тысяча лёгких деталей может дать тяжёлую конструкцию. Свойство части не обязано сохраняться у целого. Иногда перенос верен, но для этого нужна отдельная связь между свойством элементов и способом их объединения. [6]
29. Ошибка деления
Необоснованный перенос. Компания прибыльна, значит, каждый её проект прибыльный. Общий положительный результат совместим с убыточными направлениями, перекрытыми доходами других. Здесь свойство целого переносят на любую часть. Проверять нужно распределение, а не только итог: средняя величина не является портретом каждого участника. [6]
30. Правило без оговорок
Ошибка применения. В библиотеке нельзя шуметь, значит, нельзя громко предупредить людей об опасности. Общее правило применено к исключительному случаю без проверки его цели и границ. Возражение не отменяет норму целиком. Нужно показать конкретное основание исключения, иначе вместо исправления возникнет произвольное оправдание. [5]
31. Поспешное обобщение
Индуктивная ошибка. Три покупателя похвалили услугу, значит, довольны все клиенты. Небольшая и, возможно, отобранная выборка не обеспечивает такого вывода. Наблюдения могут поддерживать гипотезу, но её сила зависит от охвата, отбора и неоднородности аудитории. Слово «все» требует существенно большего основания, чем несколько отзывов. [6]
32. После этого значит вследствие этого
Ошибка причинности. После смены логотипа выросли продажи, значит, продажи поднял логотип. Между событиями есть порядок во времени, однако могли измениться цена, сезон, реклама и доступность товара. Временная последовательность необходима для многих причинных объяснений, но недостаточна для выбора одного из них. [6]
33. Корреляция как готовая причина
Ошибка причинности. Продажи мороженого и посещаемость пляжа растут вместе, значит, мороженое заставляет людей купаться. Общий фактор – жара – объясняет совместное изменение без такой связи. Корреляция может быть уликой, но причинное заключение требует устройства процесса и подходящего сравнения. На схеме общий предок отличается от прямой стрелки. Схема задаёт проверяемую гипотезу, а не заменяет данные об этих связях. [6]
Рис. 5. Общая причина и отбор по результату создают разные связи
34. Ложная аналогия
Слабое обоснование. Компания похожа на семью, поэтому руководитель вправе принимать за сотрудников любые решения. Сходство в поддержке не переносит семейные роли в трудовые отношения. Аналогия полезна для гипотез и объяснения; доказательной её делает совпадение признаков, важных именно для вывода, а не общий эмоциональный образ. [6]
35. Ложная дилемма
Подмена выбора. Либо немедленно принимаем этот проект, либо отказываемся от развития. Между крайностями могут быть пилот, другой проект и отсрочка до проверки. Двухветочная форма сама по себе не ошибочна: ошибка возникает, когда перечень вариантов не исчерпывает действительные возможности. Сначала проверяют полноту развилки. [7]
36. Соломенное чучело
Подмена тезиса. Коллега предлагает проверить поставщика. Ему отвечают, будто он хочет навсегда прекратить закупки. Опровергнута более удобная позиция, которой собеседник не занимал. Вернуться к предмету помогает точная формулировка исходного требования и его масштаба: проверка не равна запрету, осторожность – отказу от действий. [7]
37. Переход на личность
Нерелевантное возражение. У автора расчёта неприятный характер, значит, расчёт неверен. Характер не опровергает формулу. Сведения о компетентности или конфликте интересов бывают важны для оценки доверия к свидетельству, но не заменяют проверки конкретного доказательства. Следует различать критику источника и разбор его вывода. [8]
38. Ты тоже
Уклонение от проверки. На замечание о нарушении отвечают: «Ты сам так поступал». Возможная непоследовательность критика не устраняет обсуждаемого нарушения. Она может стать отдельной темой. Для исходного вопроса всё ещё нужны факт, применимое правило и условия; обмен обвинениями не устанавливает ни правоту, ни невиновность. [7]
39. Неподходящий авторитет
Слабое свидетельство. Известный актёр одобрил финансовую модель, значит, модель точна. Популярность в одной области не даёт компетентности в другой. Ссылка на специалиста допустима как свидетельство при релевантной квалификации, доступе к данным и проверяемых основаниях. Ошибка – выдавать имя за гарантию или за само доказательство. [8]
40. Большинство как доказательство
Нерелевантное основание. Миллионы людей верят утверждению, значит, оно истинно. Массовость описывает распространение убеждения, а не его соответствие фактам. При голосовании большинство может определять принятое решение по правилу процедуры. Из этого не следует, что оно определяет математическую истинность или физическое устройство мира. [8]
41. Аргумент от незнания
Подмена бремени доказательства. Никто не доказал, что устройство неисправно, значит, оно исправно. Отсутствие опровержения не равнозначно подтверждению. Исключение требует условий: например, надёжный полный тест должен обнаруживать именно эту неисправность. Тогда результат опирается на свойства теста, а не просто на отсутствие чужих возражений. Заявление «мы не получали жалоб» не описывает ни полноту наблюдения, ни качество проверки. [8]
42. Нагруженный вопрос
Скрытая посылка. Вы уже перестали подделывать отчёты? Ответы «да» и «нет» принимают неподтверждённое обвинение. Сначала нужно отделить вопрос о факте подделки от вопроса о её прекращении. Не всякий короткий вопрос является уловкой: проблема возникает, когда общая предпосылка ещё не установлена, но встроена в допустимые ответы. Отказ от предложенной пары ответов оставляет возможность проверить обвинение по существу. [5]
43. Недоказанная скользкая дорожка
Ошибка цепочки. Один раз изменим срок – затем отменим все правила – предприятие развалится. Промежуточные переходы объявлены неизбежными без оснований. Прогноз цепной реакции бывает разумным, если показаны механизмы и вероятность каждого шага. Само наличие первого изменения не доказывает наступления последнего бедствия. [7]
44. Передвижение ворот
Уловка спора. Сначала требуют один успешный тест; после него – десять; затем объявляют любой тест недостаточным. Критерий меняют так, чтобы тезис нельзя было подтвердить. Новые требования могут быть обоснованны новой информацией, но причину пересмотра нужно назвать. Иначе проверка превращается в бесконечный отказ признавать результат. [7]
45. Выбор удобных данных
Ошибка отбора. Из двадцати испытаний показывают два удачных и объявляют метод стабильно эффективным. Успехи реальны, но вывод об устойчивости основан на искажённом наборе. До анализа полезно определить, какие наблюдения включаются и почему. Неподходящие условия можно исключать по содержательному правилу, применённому ко всем случаям. [7]
46. Ошибка выжившего
Ошибка отбора. Изучают только действующие успешные компании и делают вывод, что их привычка гарантирует успех. Закрывшиеся компании с той же привычкой не попали в выборку. У Вальда аналогичная проблема возникала при оценке уязвимости самолётов по вернувшимся машинам. Данные о выживших нужно связать с механизмом исчезновения остальных. [9]
47. Ошибка игрока
Вероятностная ошибка. После пяти орлов решка якобы «должна отыграться». Для независимых бросков честной монеты следующий результат по-прежнему имеет вероятность 1/2. Баланс больших серий не требует немедленной компенсации прошлой серии. Если броски зависимы или монета неизвестна, нужна другая модель, а не механическое применение этой оговорки. [10]
48. Ошибка конъюнкции
Вероятностная ошибка. В истории о Линде сочетание «кассир и активистка» кажется правдоподобнее, чем просто «кассир». Но событие A и B входит в A, поэтому его вероятность не выше вероятности A. Яркое описание усиливает похожесть на стереотип и отвлекает от включения событий. Важно, чтобы более короткий вариант не был переосмыслен как «кассир, но не активистка». [11]
Рис. 6. Среди сигналов редкое событие может остаться меньшинством
49. Пренебрежение базовой частотой
Ошибка условной вероятности. При доле события 1% детектор с чувствительностью 90% и ложной тревогой 5% даст на 10’000 случаев примерно 90 верных сигналов и 495 ложных. Среди 585 сигналов доля события – около 15,4%, а не 90%. Это условный расчёт на заданных параметрах: надёжность положительного сигнала зависит и от распространённости события. Остальные 9415 случаев отрицательны; среди них десять пропущенных событий. Положительный и отрицательный результаты оценивают отдельно. [10]
50. Ловушка невозвратных затрат
Ошибка решения. Мы уже потратили миллион, поэтому обязаны вложить ещё столько же. Потраченное не вернётся от одного продолжения работ. Решение сравнивает будущие выгоды, затраты и альтернативы. Прошлые вложения могут дать информацию или создать обязательства; ошибкой становится их самостоятельное использование как довода продолжать заведомо худший вариант. Остановка тоже может требовать расходов, поэтому сравнение должно учитывать обе будущие траектории. [12]
Самоссылка и границы понятий
51. Лжец
Семантический парадокс. Предложение объявляет само себя ложным. Если оно истинно, сказанное им выполняется и оно ложно; если ложно, его утверждение как будто истинно. Конфликт требует самоприменения, обычных правил истины и двух значений. Разные теории ограничивают язык, меняют правила истины или допускают дополнительные статусы; общего простого ответа для всех версий нет. [13]
52. Эпименид и критяне
Ловушка квантора. Критянин говорит, что все критяне всегда лгут. Если понимать слова буквально, их истинность противоречит собственному произнесению. Но ложность общего утверждения требует лишь одного случая правды у кого-либо из критян. Поэтому эта популярная история без дополнительных условий не создаёт такого же двустороннего противоречия, как строгий Лжец. [13]
53. Брадобрей
Несовместимое описание. Брадобрей из данного селения бреет всех и только тех его жителей, кто не бреется сам; сам он также житель. Бреет ли он себя? Любой ответ нарушает условие. Вывод – брадобрея с такими свойствами не существует. Противоречие в описании персонажа не доказывает, что обычное бритьё или вся логика невозможны. Исключение самого брадобрея из числа жителей меняет постановку и снимает эту ловушку. [14]
54. Множество Рассела
Теоретико-множественная антиномия. Пусть R содержит все множества, которые не содержат самих себя. Тогда R принадлежит R ровно тогда, когда R ему не принадлежит. Проблема – в неограниченном образовании множества по любому свойству. В ZF выделение подмножества происходит внутри уже данного множества; существование такого универсального R не постулируется. [14]
55. Греллинг и Нельсон
Семантический парадокс. Назовём прилагательное гетерологическим, когда оно не описывает само себя. «Многосложное» многосложно, а «односложное» не односложно. Гетерологично ли слово «гетерологическое»? При неограниченном самоприменении определения оба ответа обращаются в противоположность. Суть в устройстве предиката, а не в необычной орфографии. [15]
56. Парадокс Берри
Парадокс определимости. Берут наименьшее натуральное число, не определимое фразой короче ста слов. Кажется, что его только что определили гораздо короче. Но «определимо» должно относиться к фиксированному языку и правилам, а рассуждение незаметно поднимается на уровень описания этого языка. Различение языка и метаязыка не позволяет бесконтрольно включить новую фразу в прежний список. [13]
57. Парадокс Ришара
Парадокс определимости. Мысленно перечисляют все вещественные числа, определимые конечными фразами, и диагонально строят число, отличное от каждого перечисленного. Описание нового числа само выглядит конечным. Конфликт возникает вокруг того, какие фразы действительно определяют число и на каком уровне языка это устанавливают. Это не опровержение диагонального доказательства Кантора. [16]
58. Парадокс Карри
Парадокс самоссылки. Предложение C говорит: «Если C истинно, то Луна состоит из сыра». Неограниченная схема истины связывает C с C → q. При обычных правилах условного рассуждения и повторного использования посылки получается q без фактических данных о Луне. Антиномия показывает несовместимость набора допущений о самоссылке и выводе; одного запрета отрицаний недостаточно. [17]
Рис. 7. Самоссылка не даёт истине и ложности разойтись
59. Куча
Парадокс нечёткости. Миллион песчинок образует кучу. Удаление одной будто бы никогда не меняет ответ; повторение шага доводит до единственной песчинки. Проблема не в арифметике, а в неограниченном сохранении расплывчатого признака. Контекстные, многозначные и другие теории по-разному объясняют границу; отсутствие очевидного порога не делает все состояния одинаковыми. [18]
60. Корабль Тесея
Задача о тождестве. Доски корабля постепенно заменяют. Остаётся ли он тем же? Если старые доски собрать в другой корабль, конкурируют непрерывность истории и тождество материала. Ответ зависит от критерия, принятого для слова «тот же». Мысленный эксперимент не требует выбрать один критерий для любых объектов: юридическая идентичность и состав вещества решают разные задачи. Важно назвать критерий заранее: иначе один участник сравнивает историю корабля, а другой – его детали. [19]
Движение и бесконечность
61. Ахиллес и черепаха
Апория движения. Ахиллес каждый раз достигает прежнего места черепахи, но она успевает продвинуться. Этапов бесконечно много, однако их длительности образуют сходящуюся сумму. При постоянных скоростях vA > vЧ и начальном отрыве d догонка наступит через d/(vA − vЧ). Бесконечное число описанных отрезков не обязательно требует бесконечного времени. Формула предполагает положительный отрыв и движение в одном направлении без остановок. [20]
62. Дихотомия Зенона
Апория деления. До цели нужно пройти половину пути, затем половину остатка и так далее. Для пути длиной единица сумма 1/2 + 1/4 + 1/8 + … равна единице. Это снимает численное возражение в непрерывной модели. Разбиение движения на бесконечный список не превращает каждый отрезок в отдельное действие с одинаковой обязательной задержкой. [20]
63. Летящая стрела
Апория мгновения. В каждый момент стрела занимает определённое место; отсюда предлагают заключить, что она покоится всегда. Но мгновенная скорость определяется изменением положения в окрестности момента, а не перемещением «внутри» точки времени. Указание координаты само по себе не равно утверждению нулевой скорости. Здесь смешаны разные способы описания движения. [20]
64. Стадий Зенона
Апория относительности движения. Два ряда тел движутся навстречу друг другу мимо неподвижного ряда. За то же время тело проходит относительно встречного ряда больше позиций, чем относительно стоящего. Парадокс питается отождествлением этих отсчётов. В современной кинематике относительные скорости различаются; одинаковое число минованных тел не обязано означать одинаковое время. Если оба ряда движутся со скоростью v относительно трибуны, их относительная скорость равна 2v. [20]
Рис. 8. Число частей растёт, а сумма остаётся в границах единицы
65. Парадокс Галилея
Контринтуитивная бесконечность. Квадраты 1, 4, 9, 16… составляют лишь часть натуральных чисел, однако каждому n соответствует ровно один квадрат n². Для бесконечных множеств собственное подмножество может иметь ту же мощность, что целое. Противоречия нет: равномощность означает наличие взаимно однозначного соответствия, а не равную долю квадратов среди первых N чисел. [21]
66. Отель Гильберта
Контринтуитивная бесконечность. Все комнаты с натуральными номерами заняты, но для нового гостя каждого жильца переселяют из n в n + 1. Комната 1 освобождается. Для счётного числа новых гостей старых переселяют в 2n. Это модель счётной бесконечности, а не инструкция реальной гостинице: предполагается возможность описать переселение всех гостей одной функцией. [22]
67. Парадокс Кантора
Теоретико-множественная антиномия. Предположим, что существует множество всех множеств U. Его множество подмножеств должно иметь строго большую мощность, чем U, но каждый такой элемент уже должен находиться в U. Несовместимы универсальное множество и обычная теория мощности. В стандартной теории множеств «все множества» не образуют множество; теорема Кантора остаётся в силе. [23]
68. Парадокс Бурали-Форти
Теоретико-множественная антиномия. Если собрать все ординалы в множество, их порядок даст ординал, превосходящий каждый элемент этого собрания. Но он должен был уже войти в собрание. Ошибочно допущение о множестве всех ординалов. В стандартной теории они образуют собственный класс; правило построения следующего ординала не превращает этот класс в ещё один ординал. [24]
Рис. 9. Комнаты освобождает соответствие, а не исчезновение жильцов
69. Парадокс Сколема
Относительность модели. Если теория множеств в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, у неё есть и счётная модель. При этом внутри неё могут выполняться утверждения о несчётности. «Счётно снаружи» и «счётно внутри» различаются: внешняя нумерация может не принадлежать модели. Это не доказательство счётности реальных чисел в обычном смысле; два уровня рассмотрения нельзя отождествлять. [25]
70. Банах и Тарский
Контринтуитивная теорема. В трёхмерном евклидовом пространстве шар можно разбить на конечное число особых множеств и движениями собрать два шара того же размера. В стандартной постановке используется аксиома выбора, а части не имеют обычного измеримого объёма. Речь не о разрезании физического предмета ножом: сохранение объёма нельзя применять к таким частям как к измеримым кускам. [26]
71. Рог Гавриила
Контринтуитивная геометрия. Вращение y = 1/x при x ≥ 1 вокруг оси даёт бесконечно длинную фигуру с объёмом π, но бесконечной площадью поверхности. Интеграл 1/x² сходится, а нижняя оценка площади содержит расходящийся интеграл 1/x. Объём и площадь суммируют разные величины. Образ «залить, но не покрасить» требует осторожности: реальная краска имеет толщину. [27]
72. Ряд Гранди
Ловушка бесконечного суммирования. Для 1 − 1 + 1 − 1 + … группировка соседних членов будто даёт то ноль, то единицу. Обычные частичные суммы чередуются и предела не имеют, поэтому обычной суммы у ряда нет. Значение 1/2 можно получить в смысле Чезаро или Абеля. Способ суммирования нужно назвать; свойства сходящихся рядов нельзя переносить без проверки. [28]
73. Все лошади одного цвета
Ложная индукция. Из группы n + 1 лошадей убирают по одной с разных концов: две группы по n якобы одноцветны и через общую лошадь связывают цвета. При переходе от одной лошади к двум пересечение пусто. Начальный случай верен, но индукционный шаг не доказан именно там, где он впервые нужен. Красивый общий рисунок скрывает граничный провал. [4]
74. Один равен двум
Алгебраический софизм. Пусть a = b ≠ 0. Тогда a² = ab; вычитая b², получают (a − b)(a + b) = b(a − b). После сокращения выходит a + b = b и 2 = 1. Запрещённый шаг – деление на a − b, равное нулю. Дальнейшая алгебра не исправляет уже потерянную равносильность преобразования. [29]
75. Пропавший доллар
Ошибка учёта. Трое заплатили 30; после возврата каждому по единице у них расход 27, из которых 25 достались гостинице, а 2 – посреднику. Складывать 27 и 2 нельзя: эти два уже включены в расход. Верное равенство – 30 = 25 + 2 + 3. Загадка возникает из сложения сумм, принадлежащих разным сторонам одного баланса.
Вероятность и условия наблюдения
76. Санкт-Петербургская игра
Парадокс ожидания. Честную монету бросают до первого орла. При орле на n-м броске выплачивают 2ⁿ единиц: вероятность 2⁻ⁿ, а вклад каждого исхода в ожидание равен единице. Денежное ожидание бесконечно, хотя люди не готовы платить любую цену. Ограничения банка и полезность денег меняют практическую модель; ожидание не тождественно разумной цене участия. [30]
77. Хорда Бертрана
Неоднозначность случайного выбора. Какова вероятность, что случайная хорда длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника? Равномерный выбор концов, расстояния середины от центра и самой середины по площади даёт разные меры: 1/3, 1/2 и 1/4. Противоречия нет: это три разных эксперимента. Слова «наугад» недостаточно без способа генерации. [31]
78. Совпадение дней рождения
Контринтуитивная вероятность. В группе из 23 человек вероятность совпадения хотя бы двух дней рождения около 50,7%. Для модели независимых равномерных дней без 29 февраля она равна 1 − (365 × 364 × … × 343)/365²³. Сравнивают 253 пары, а не только остальных с одним назначенным человеком. Реальные сезонные частоты изменяют точный результат. [32]
79. Монти Холл
Условная вероятность. Вы выбираете одну из трёх дверей. Ведущий знает приз, всегда открывает другую пустую дверь и всегда предлагает сменить выбор. Смена выигрывает с вероятностью 2/3: она удачна именно тогда, когда первый выбор был ошибочным. При ином поведении ведущего ответ может измениться; знание правил раскрытия – часть задачи. [32]
Рис. 10. Смена двери исправляет две из трёх первых ошибок
80. Парадокс Симпсона
Агрегирование данных. В лёгких задачах А решает 9 из 10, Б – 80 из 100; в трудных А решает 20 из 100, Б – 1 из 10. А лучше в каждой группе: 90% против 80% и 20% против 10%. Вместе А получает 29/110 ≈ 26,4%, Б – 81/110 ≈ 73,6%. Разные веса групп переворачивают сравнение; выбор причинного вывода требует понимания распределения задач. [33]
81. Парадокс Берксона
Отбор по общему следствию. В программу берут кандидатов за сильное портфолио или высокий экзаменационный балл. Среди принятых у слабого по одному критерию обычно должен быть сильный другой. Отбор способен создать отрицательную связь даже при независимости признаков в общей совокупности. На графе условие наложено на общий результат двух причин, а не на общий источник. [34]
Рис. 11. Общий рейтинг разворачивается из-за весов групп
82. Два конверта
Ловушка условного ожидания. В конвертах суммы x и 2x. Увидев A, рассуждают: во втором с равной вероятностью A/2 или 2A, поэтому ожидание 1,25A и менять выгодно всегда. Но после наблюдения A равновероятность этих случаев не гарантирована: нужна модель выбора x. Без неё смешаны условные ситуации. При корректной модели смена иногда выгодна, но универсальный довод не работает. [35]
83. Спящая красавица
Спор о самоопределении. После честной монеты при орле героиню будят один раз, при решке – два, стирая память между пробуждениями. Какова её уверенность в орле при пробуждении? Эльга защищает 1/3, Льюис – 1/2. Спор касается обновления убеждения и роли собственного положения в эксперименте; нельзя объявлять один ответ установленным, просто подсчитав пробуждения. Нужно уточнить, выбираем ли мы случайный опыт или случайное пробуждение. Честность монеты сама по себе ещё не задаёт веса наблюдений проснувшейся героини. [36, 37]
Выбор и взаимодействие
84. Проблема Ньюкома
Конфликт принципов выбора. Предсказатель заранее кладёт миллион в закрытую коробку, если ожидает, что вы возьмёте только её. В открытой всегда тысяча. После заполнения можно взять одну или обе. Доминирование советует обе: содержимое уже фиксировано. Связь выбора с почти точным прогнозом поддерживает одну. Разбор зависит от теории решения и модели предсказателя, а не от одной арифметической операции. [38]
85. Дилемма заключённого
Конфликт личного и общего. Двоим предлагают выбор сотрудничать друг с другом или предать. В учебной матрице полезностей взаимное сотрудничество даёт каждому 3, взаимное предательство – 1, одностороннее предательство приносит предателю 5, партнёру 0. Предательство строго выгоднее при любом действии другого, но равновесный итог хуже совместного сотрудничества. Повторение игры меняет стратегические условия. [39]
Рис. 12. Личная выгода обоих приводит к худшему общему результату
86. Цикл Кондорсе
Парадокс коллективного выбора. Три равные группы предпочитают А > Б > В, Б > В > А и В > А > Б. Большинство выбирает А против Б, Б против В и В против А. Каждый личный порядок транзитивен, общественное попарное отношение – нет. Итог последовательного голосования может зависеть от повестки. Это свойство процедуры, а не логическая непоследовательность каждого избирателя. [40]
Рис. 13. Три последовательных большинства замыкают круг
87. Теорема Эрроу
Несовместимость требований. При трёх и более альтернативах нельзя для всех профилей индивидуальных строгих порядков получить общественный транзитивный полный порядок, одновременно сохранив единогласие, независимость от посторонних альтернатив и отсутствие диктатора. Теорема не утверждает бесполезность любого голосования. Она заставляет назвать условия, которыми конкретная процедура жертвует или которые ограничивает. [40]
88. Парадокс Браесса
Сетевое равновесие. Новая бесплатная связь может ухудшить время пути при индивидуальном выборе маршрута. В учебной сети с 4000 водителей, двумя переменными рёбрами x/100 и двумя постоянными по 45 минут исходное равновесие даёт 65 минут. До добавления связи потоки по двум ветвям равны. Нулевая перемычка приводит к маршруту на 80 минут: в новом равновесии все едут через обе переменные дуги. Это результат заданных функций и равновесия, а не правило вредности новых дорог. [41]
Рис. 14. Нулевая перемычка меняет равновесный путь с 65 до 80 минут
89. Парадокс Джевонса
Ответ системы на эффективность. Более экономный двигатель уменьшает расход топлива на единицу работы, но удешевляет её и может расширить использование настолько, что общий расход вырастет. Это различие удельного и совокупного потребления. Обратный эффект не обязан превышать всю экономию в каждом случае: нужны реакция спроса, цены, масштабы и границы рассматриваемой системы. [42]
90. Парадокс Паррондо
Зависимость от состояния. Две игры по отдельности могут проигрывать в долгосрочном среднем, а определённое чередование давать выигрыш. В классических конструкциях шансы зависят от текущего капитала или истории, и переключение меняет распределение состояний. Это не сложение двух неизменных отрицательных ожиданий и не универсальная стратегия заработка из любых двух плохих решений. Для проверки рассчитывают частоты состояний отдельно в каждой игре и при выбранном способе переключения. [43]
Знание и основания оценки
91. Неожиданная казнь
Эпистемический парадокс. Заключённому обещают казнь на следующей неделе, о дне которой он не узнает заранее. Он исключает последний день, затем предпоследний и так далее; казнь в середине недели всё же оказывается неожиданной. Обратная индукция опирается на спорные условия знания объявления и его будущего сохранения. Без точного смысла «заранее знать» единого формального противоречия не задано. Список возможных дат ещё не означает знания фактической даты казни. Проверять нужно не только каждый шаг исключения, но и то, какие знания разрешено переносить на следующий день. [44]
92. Знающий
Парадокс знания. Предложение утверждает, что оно неизвестно. Если система доказывает его неизвестность, а все её доказательства считаются известными, возникает конфликт с истинностью знания. Такая ловушка требует сильных принципов самоссылки и отражения доказательств в знании. Это не обычная фраза о ещё не прочитанной записке; ограничение соответствующих принципов меняет результат. [44]
93. Парадокс познаваемости Фитча
Модальное рассуждение. Пусть p истинно, но неизвестно. Тогда истинно и «p и неизвестно p». Если любая истина познаваема, возможно знать всё это сочетание; однако знание p уничтожает его вторую часть. При стандартных правилах получается, что все истины уже известны. Давление направлено на неограниченный принцип познаваемости, а не на пользу исследования мира. [45]
94. Черепаха Льюиса Кэрролла
Регресс обоснования. Черепаха принимает посылки Ахиллеса, но просит добавить ещё одну: из них следует вывод. Затем требует нового правила для расширенного набора. Признать условное предложение и применить правило – разные действия. Бесконечное добавление посылок не заменяет самого перехода к заключению. [46]
95. Случаи Геттиера
Контрпример определению знания. У Смита есть серьёзные основания считать, что Джонс получит работу и имеет десять монет. Он выводит: получивший работу имеет десять монет. Работу неожиданно получает сам Смит, у которого тоже десять монет. Убеждение истинно и обоснованно, но удача связывает его с реальностью. Это возражение против достаточности трёхчастного определения знания. [47]
96. Мэри в чёрно-белой комнате
Аргумент о сознании. Мэри знает всю физическую информацию о цветном зрении, но никогда не видела цвета. Узнает ли она нечто новое, впервые увидев красный? Джексон использовал пример против достаточности физического описания. Возражения различают новый факт, способность и способ знакомства. Мысленный эксперимент не является завершённым экспериментальным доказательством нефизической природы сознания. [48]
97. Китайская комната
Аргумент о понимании. Не зная китайского, человек по правилам выдаёт ответы на нём. Сёрл оспаривает достаточность программы для понимания. Системное возражение относит понимание ко всей системе. Невозможность любого машинного сознания этим не доказана. [49]
98. Проблема вагонетки
Этическая дилемма. Неуправляемая вагонетка угрожает пятерым; перевод стрелки спасёт их, но погубит одного на другом пути. Меняя участие агента, намерение и использование человека как средства, получают разные моральные оценки. Число жертв важно, но само по себе не доказывает единственное правило. Задача выявляет конфликт критериев, а не вычислительную ошибку. [50]
99. Камень всемогущества
Задача об определении. Может ли всемогущий создать камень, который сам не поднимет? Ответ зависит от того, включает ли всемогущество логически несовместимые требования. В традиции Фомы Аквинского невозможное по противоречию не считается осуществимой задачей. При другом определении обсуждают другой тезис. Одной двусмысленной фразой нельзя автоматически решить вопрос существования Бога. [51]
100. Дилемма Евтифрона
Философская дилемма. Благочестивое любимо богами потому, что благочестиво, или благочестиво потому, что любимо? Первый ответ предполагает основание оценки, отличное от одобрения; второй делает одобрение определяющим. У Платона это часть проверки определения благочестия. Современное обобщение о морали требует дополнительных посылок; исходный вопрос сам по себе не опровергает все теологические этики. [52]
Как применять эти рассуждения
У ста рассуждений нет одного универсального ключа. Где-то достаточно нарисовать включение классов, где-то – предъявить контрпример, выписать условные частоты или уточнить область определения. В парадоксах знания и этических дилеммах особенно важно сохранять спорные допущения, а не выдавать выбранную позицию за единственно возможную.
Для рабочего решения я сначала выписываю тезис и посылки, затем обозначаю значения слов, область объектов, условия отбора и критерий успеха. После этого пробую построить случай с истинными посылками и ложным выводом. Если он найден, доказательство не состоялось; если не найден, одной неудачной попытки ещё недостаточно для доказательства.
Знакомое название помогает быстрее увидеть устройство задачи, но не заменяет её разбор. Полезнее узнать, какая посылка удерживает вывод, чем запомнить эффектную развязку. Тогда логика становится практикой: позволяет менять решение при новых данных и замечать границу между установленным, вероятным и пока не разрешённым.
Источники и дальнейшее чтение
Числа в квадратных скобках отсылают к сочинениям и публикациям ниже. Формулировки учебных примеров, диаграммы, числовые модели Симпсона и Браесса и их расчёты подготовлены для этой статьи. Они иллюстрируют названные формы и эффекты, не воспроизводя исторические наблюдения.
[1] Аристотель. Первая аналитика, книга I. [2] Кэрролл Л. Символическая логика, 1897.
[3] Евклид. Начала, IX.20. [4] Леман Э., Лейтон Т., Мейер А. Mathematics for Computer Science, 2018.
[5] Аристотель. О софистических опровержениях, главы 1–15. [6] Милль Дж. С. Система логики, том II, книга V. Ошибки рассуждения.
[7] Шопенгауэр А. Искусство спора. Подмена тезиса и уловки. [8] Локк Дж. Опыт о человеческом разумении, IV.17. Виды аргументов.
[9] Вальд А. Оценка уязвимости самолётов по повреждениям выживших, 1943. [10] Тверски А., Канеман Д. Judgment under Uncertainty, 1974.
[11] Тверски А., Канеман Д. Extensional versus Intuitive Reasoning, 1983. [12] Аркес Х., Блумер К. The Psychology of Sunk Cost, 1985.
[13] Рассел Б. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types, 1908. [14] Рассел Б. Introduction to Mathematical Philosophy, 1919.
[15] Греллинг К., Нельсон Л. Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti, 1908, с. 301–334. [16] Ришар Ж. Les principes des mathématiques et le problème des ensembles, 1905.
[17] Карри Х. The Inconsistency of Certain Formal Logics, 1942. [18] Секст Эмпирик. Пирроновы положения, книга II, о соритах.
[19] Плутарх. Тесей, 23. Постепенная замена досок корабля. [20] Аристотель. Физика, книга VI. Апории движения.
[21] Галилей Г. Беседы о двух новых науках, первый день. Числа и квадраты. [22] Гильберт Д. Лекции об основаниях математики, 1920-е. История рукописи отеля.
[23] Кантор Г. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, 1891. [24] Рассел Б. The Principles of Mathematics, 1903, предисловие ко 2-му изданию.
[25] Сколем Т. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, 1923, с. 217–232. [26] Банах С., Тарский А. Sur la décomposition des ensembles de points, 1924.
[27] Торричелли Э. Opera Geometrica, 1644. Фрагмент о гиперболическом теле. [28] Харди Г. Divergent Series, 1949. Глава I, пример 1 − 1 + 1 − ….
[29] Су Ф. и др. One Equals Zero. [30] Бернулли Д. Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk, 1738.
[31] Бертран Ж. Calcul des probabilités, 1889, с. 4–5. [32] Иррисарри Р. Introduction to Data Science, глава 13.
[33] Симпсон Э. The Interpretation of Interaction in Contingency Tables, 1951. [34] Берксон Дж. Limitations of Fourfold Table Analysis to Hospital Data, 1946.
[35] Нейлбафф Б. The Other Person’s Envelope Is Always Greener, 1989. [36] Эльга А. Self-locating Belief and the Sleeping Beauty Problem, 2000.
[37] Льюис Д. Sleeping Beauty Reply to Elga, 2001. [38] Нозик Р. Newcomb’s Problem and Two Principles of Choice, 1969.
[39] Нэш Дж. Non-Cooperative Games, 1951. [40] Эрроу К. A Difficulty in the Concept of Social Welfare, 1950.
[41] Браесс Д. Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung, 1968. Оригинал и перевод. [42] Джевонс У. Ст. The Coal Question, 1865, глава об экономии топлива.
[43] Паррондо Х., Хармер Г., Эбботт Д. New Paradoxical Games, 2000. [44] Каплан Д., Монтегю Р. A Paradox Regained, 1960.
[45] Фитч Ф. A Logical Analysis of Some Value Concepts, 1963. [46] Кэрролл Л. What the Tortoise Said to Achilles, 1895.
[47] Геттиер Э. Is Justified True Belief Knowledge, 1963. [48] Джексон Ф. Epiphenomenal Qualia, 1982.
[49] Сёрл Дж. Minds Brains and Programs, 1980. [50] Томсон Дж. Дж. The Trolley Problem, 1985.
[51] Фома Аквинский. Сумма теологии, I, вопрос 25, статья 3. [52] Платон. Евтифрон, 10a–11b.