В задаче Монти Холла смена двери даёт две трети побед при классическом протоколе. Другой протокол ведущего меняет вероятность победы и цену наград для разных стратегий. Условия анализируют основатель «Школы траблшутеров» Олег Брагинский и ученик Антон Бессарабов.
Рис. 1. За одной козой скрываются разные шансы на приз
Три двери и десять тысяч писем
Задачу первым опубликовал статистик Стив Селвин: письмо в The American Statistician вышло в феврале 1975 года, а в августе, после волны возражений, он прислал второе, где впервые прозвучало название «задача Монти Холла». Ведущий телешоу Let’s Make a Deal дал задаче имя, хотя в эфире играл по другим правилам.
Известность пришла через пятнадцать лет. Мэрилин вос Савант 9 сентября 1990 года ответила в колонке Parade читателю Крейгу Уитакеру, что менять выбор выгодно. По её оценке, приведённой The New York Times, отклик составил около 10’000 писем, большинство – с возражениями.
По рассказу Эндрю Вашоньи, Пол Эрдёш не принял решение по дереву вариантов и согласился лишь после компьютерного моделирования. Интуиция подвела опытного математика: одинаковый вид двух закрытых дверей ещё не делает их равновероятными.
Парадокс Монти Холла – задача о смене выбора после раскрытия пустой двери. Машина равновероятно скрыта за одной из трёх дверей, игрок выбрал первую, ведущий открыл третью. Пусть при двух допустимых вариантах ведущий выбирает каждый с равной вероятностью.
Если машина за первой дверью, ведущий откроет третью в половине случаев; если за второй – обязательно; если за третьей – никогда. После наблюдения третьей пустой двери второй вариант вдвое вероятнее первого. При этих правилах формула Байеса даёт обмену две трети.
Первая оговорка касается протокола. Классическая стратегия обмена выигрывает в двух третях партий, если приз размещён равновероятно, ведущий знает расклад, всегда открывает пустую дверь и предлагает обмен. Условная вероятность после конкретной двери дополнительно зависит от предпочтений ведущего.
Для стратегии постоянного обмена важен первоначальный выбор. При попадании в приз смена двери проигрывает, при любой из двух ошибок – выигрывает. Поэтому результат всей серии определяется частотой первого промаха, а не симметрией двух оставшихся дверей.
Рис. 2. В двух раскладах из трёх ведущему не из чего выбирать
Вторая оговорка – о знании. Если ведущий не знает, где машина, и коза открылась случайно, обмен ничего не даёт. Джеффри Розенталь в 2008 году назвал этот вариант «Монти Фолл» – ведущий поскользнулся и толкнул дверь – и предположил, что многие сомневающиеся держали в голове именно его.
Протокол ведущего: одно действие, разные ответы
Точный расчёт разводит правила, внешне похожие для игрока. Осведомлённый ведущий, который всегда открывает пустую дверь и предлагает обмен, даёт стратегии смены выбора 66,7%. При случайном открытии и условии, что показана коза, обмен даёт 50,0%. Предложение лишь угадавшему даёт ноль, лишь ошибившемуся – сто процентов.
Предпочтение ведущего тоже меняет ответ. Морган, Чаганти, Дахия и Довяк в 1991 году показали: если ведущий при возможности всегда открывает вторую дверь, её появление даёт обмену 50%, а открытая третья – 100%. Во втором случае у него не было выбора.
Разные ответы после второй и третьей двери не отменяют двух третей побед у стратегии постоянного обмена. Открытие второй происходит чаще, чем третьей, поэтому 50% и 100% нельзя усреднять пополам. Вероятность после конкретного сигнала отличается от результата стратегии за всю серию.
В июле 1991 года Монти Холл объяснил Джону Тирни для The New York Times: в шоу обмен не был обязательным и обычно не предлагался. Усмотрение ведущего меняет правила. Мартин Гарднер там же описал хозяина, способного свести шанс выигрыша при смене двери к нулю.
Идеализированная модель «Сделки или нет» отличается от классической задачи. Пусть приз размещён равновероятно, а остальные чемоданы открываются наугад. Если главный приз сохранился среди двух последних из двадцати шести, шансы у них равны. Это расчёт модели, без учёта предложений банкира и иных сигналов шоу.
Сто дверей: сколько информации в ограниченном выборе
Обобщение на много дверей отделяет число раскрытых дверей от количества информации. Если ведущий открывает все пустые двери, кроме одной, обмен выигрывает с вероятностью, равной доле дверей, которые игрок не выбирал: при десяти дверях – 90%, при ста – 99%.
Если осведомлённый ведущий открывает лишь одну пустую дверь, а игрок затем равновероятно выбирает одну из остальных закрытых, выигрыш от обмена почти исчезает. При десяти дверях шанс составляет 11,25% против исходных 10%, при ста – около 1,01% против 1%.
Подсказка весит столько, сколько вариантов у раскрывающего отняли правила. Открыть одну пустую шкатулку из десяти почти ничего не сообщает, открыть восемь из десяти – решает игру.
Рис. 3. Сто дверей усиливают подсказку лишь при массовом раскрытии
Игроки: голуби меняют, люди сопоставляют
Дональд Гранберг и Тад Браун в 1995 году установили: при первом знакомстве выбор меняют лишь 12% участников. В опытах Уолтера Хербрансона и Джулии Шрёдер 2010 года голуби к концу обучения почти всегда меняли выбор, а люди – примерно в двух попытках из трёх.
Цену стратегии легко посчитать для классического протокола, если частота обмена не зависит от скрытого приза. Игрок, меняющий выбор в 12% партий, выигрывает в 37,3% случаев; при частоте обмена две трети – в 55,6%; всегда меняющий – в 66,7%. Последний результат выше первого примерно в 1,79 раза.
Частота обмена q связывает поведение аудитории с выплатами: P(выигрыш) = (1 + q) / 3. При сохранении выбора приз достаётся в одной трети партий, при смене – в двух третях. Формула предполагает, что решение игрока не использует дополнительный сигнал о скрытом призе.
Результат с голубями не окончательный. Джеймс Мазур и Патриция Кальбо в модифицированных опытах 2012 года не нашли оснований считать птиц лучше людей: в ряде условий студенты обучались быстрее. Участники часто не доходили до оптимальной стратегии; скорость зависела от устройства опыта.
Рис. 4. Привычка держаться за первый выбор оставляет часть призов ведущему
Бридж: ограниченный выбор за карточным столом
В бридже сходное рассуждение называют принципом ограниченного выбора. Если карту могли сыграть из нескольких равноценных, её появление повышает относительную правдоподобность расклада, где выбора не было. Джошуа Миллер и Адам Санхурхо в Journal of Economic Perspectives в 2019 году связали принцип с задачей Монти Холла через формулу Байеса.
Бридж – игра, где ограниченный выбор стал навыком. Сильный разыгрывающий читает не саму сыгранную карту, а свободу, с которой её сыграли, – ровно то, что ведущий шоу сообщает открытой дверью.
Частые ошибки
Первая ошибка – считать любое раскрытие подсказкой одного и того же типа. Случайно открытый пустой сундук меняет условную картину, но при двух симметричных оставшихся вариантах обмен не даёт преимущества. Выучившие классический ответ игроки могут применить две трети там, где шансы равны.
Вторая – давать ведущему свободу и не замечать сигнала. Торговец, дилер или ИИ-ведущий, который сам решает, когда предложить обмен, раскрывает своё знание фактом предложения: ведущий «из ада» обнуляет выгоду обмена, «ангел» делает её стопроцентной.
Третья – планировать экономику наград под одну стратегию игроков. Аудитория, меняющая выбор в 12% партий, забирает 37,3% призов, обученная – 66,7%; выход гайда поднимает выплаты в 1,79 раза без единой правки баланса.
Что запомнить?
- Две трети – результат стратегии; после конкретной двери шанс зависит от протокола.
- Случайно показанная коза оставляет обмену половину шанса.
- Ограничение выбора ведущего сообщает больше, чем открытая дверь.
- Частота обмена влияет на выплаты; 55,6% – расчёт модели.
- Объявляйте протокол заранее, чтобы игроки решали одну задачу.
Заключение
Ричард Гилл назвал задачу стендом математического моделирования и в Statistica Neerlandica в 2011 году разобрал минимаксный довод. Случайный первоначальный выбор и обязательный обмен гарантируют две трети побед против любого осведомлённого ведущего, обязанного открыть козу и предложить смену двери.
В варианте Колина Фрейзера 2023 года приз виден через прозрачную дверь, но ChatGPT всё равно советовал менять выбор. Коллинз и Торн в препринте марта 2026 года назвали подобный эффект «затенением». Объяснение успехов моделей накоплением готовых ответов остаётся их гипотезой.
Практический порядок работы:
- записать протокол раскрытия в дизайн-документ: кто знает расклад, обязан ли раскрывать, обязан ли предлагать обмен
- прогнать механику симуляцией по каждому протоколу, прежде чем назначать награды
- закладывать выплаты на диапазон от наивной до оптимальной стратегии, а не на одну точку
- объявлять игрокам правила раскрытия, если обмен задуман как честный выбор
- использовать свободу ведущего сознательно: предложение сделки по усмотрению – сигнал, который игроки научатся читать.
Поставьте протокол раскрытия в дизайн-документ рядом с таблицей наград: одна строка правил стоит больше любой правки шансов. Открытая дверь подскажет, где приза нет. Правило, по которому её открыли, подскажет, где он есть.